En physique la notion de symétrie est lié à une notion de transformation. Grâce à elle, décrire une partie d'un système permet de décrire l'entièreté de celui-ci. Par des jeux d'invariances, on peut connaître les contraintes sur les propriétés d'un système.
Définitions
Principe de Currie
Symétries continues
Les symétries continues sont des symétries contenant des transformations à paramètres continues tels que les rotations du plan (\(\theta\)) ou des translation (\(\vec t\)).
Symétrie discrète
Symétries discrètes
Les symétries discrètes sont les symétries dîtes CPT (Charge, Parité, Temps).
Symétrie P : la parité
La symétrie par parité désigne la symétrie par rapport à un point ou un miroir (Chiralité).
La physique n'est pas invariante par parité (ex: expérience de Mme. Wu 1957)
Symétrie C : la conjugaison de charge
La symétrie par conjugaison de charge correspond à l'invariance d'un système lorsqu'on change la charge et/ou les Nombres quantiques d'une particule.
Symétrie T : le renversement du temps
La symétrie par renversement du temps correspond à l'invariance des lois si l'on inverse le signe du temps (\(t\to -t\)) .
Théorème CPT
Symétries continues
Invariances
Invariance par translation
L'invariance par translation dans l'espace de tout le système implique une conservation de la quantité de mouvement.
Isotropie d'un système
L'isotropie d'un système implique une conservation du moment cinétique total.
Invariance par translation dans le temps
L'invariance par translation dans le temps implique une conservation de l'énergie.
Théorème de NoetherTransformation de jauge
Grandeurs
Grandeurs polaires et axiales
On parle de grandeurs polaires lorsqu'elles restent inchangées par parité.
On parle de grandeurs axiales lorsqu'elles changent par parité.
Pour assurer l'homogénéité des équations, il est essentiel que les propriétés polaires ou axiales des grandeurs soient respectées .
Transformations géométriques
Définition d'isométrie
L'isométrie est une transformation qui préserve les distances et le produit scalaire.
Types d'isométries
On définit ici une transformation \(L\) orthogonale (\(L^TL=\Bbb 1\)).
Il existe 2 types d'isométrie:- \(det(L)={{+1}}\) : pas de changement d'orientation, on parler d'isométrie propre.
- \(det(L)={{-1}}\) : changement d'orientation de l'espace, on parle d'isométrie impropre.
Définition d'une isométrie ponctuelle
L'isométrie ponctuelle est une isométrie pour laquelle au moins un point reste invariant lors de la transformation.
$$f=(\vec l,\vec t)$$
$$f(\vec {OM})={{\vec t+l(\vec{Om})=\vec{OM}'}}$$
Choix de \(O\) comme point invariant : \(f=(l,\vec O)\)
Définition d'une isométrie spatiale
Une isométrie spatiale pour laquelle aucun point n'est invariant lors de la transformation.
Par exemple, le translation est un isométrie spatiale.
Composition des isométries
Soit deux isométries \(f_1(l_1,\vec t_1)\) et \(f_2(l_2,\vec t_2)\).
$$(f_2f_1)(\vec u)=f_2(\vec t_1+l_a(\vec u))=\vec t_2+l_2(\vec t_1)+l_2l_1(\vec u)$$
$$(f_1f_2)(\vec u)=\vec t_1+l_1(\vec t_2)+l_1l_2(\vec u)$$
Ne commutent pas en générale.
Caractérisation d'une isométrie ponctuelle
On peut définir une isométrie grâce à:- éléments qui caractérisent sa transformation (axe de rotation, angle,...)
- ordre de transformation : \({{f^p = Id}}\)
- règles de commutation
Définition d'une isométrie du plan
Une isométrie du plan est une isométrie qui laisse invariant un ensemble de point lors de la transformation.
